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행렬

  • m, n이 양의 정수일 때, 다음과 같이 m개의 행과 n개의 열로 구성된 직사각형의 배열 A를 m×nm \times n 행렬(matrix)이라고 한다.
  • A=[a11a12⋯a1na21a22⋯a2n⋮⋮⋱⋮am1am2⋯amn]A = \begin{bmatrix} a_11 & a_12 & \cdots & a_1n \\ a_21 & a_22 & \cdots & a_2n \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_m1 & a_m2 & \cdots & a_mn \end{bmatrix}

영행렬

  • 모든 원소가 0

행렬의 합, 차, 스칼라 곱

  • 행렬의 합: 같은 위치의 A와 B의 원소를 더해서 구해지는 행렬
  • 행렬의 차: 같은 위치의 A와 B의 원소를 빼서 구해지는 행렬
  • 스칼라 곱: 행렬의 모든 원소에 스칼라를 곱한 행렬
  • 행렬의 합과 스칼라 곱은 실수의 연산과 유사한 성질(교환법칙, 결합법칙, 분배법칙 등)을 가지고 있다.

행렬의 곱

  • A가 m×nm \times n 행렬이고 B가 n×pn \times p 행렬일 때, A와 B의 곱은 m×pm \times p 행렬 C로 정의된다.

  • 정의에 따라 행렬 A의 열의 개수와 B의 행의 개수가 같을 때에만 행렬의 곱 AB를 계산할 수 있다.

  • 두 행렬의 곱의 크기는 (A의 행의 개수) x (B의 열의 개수)이다.

  • AB = C일 때, C의 (i,j)(i, j)원소는 A의 i번째 행과 B의 j열의 원소들을 서로 곱하고 그 곱한 결과들을 모두 합쳐서 구할 수 있다.

    • AB곱의 (i,j)(i, j)원소는 A의 i번째 행과 B의 j번째 열의 내적이다.

  • AB=[21−40][2−13101]AB = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}

    • =[2⋅2+1⋅12⋅−1+1⋅02⋅3+1⋅1−4⋅2+0⋅1−4⋅−1+0⋅0−4⋅3+0⋅1]= \begin{bmatrix} 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1 & 2 \cdot -1 + 1 \cdot 0 & 2 \cdot 3 + 1 \cdot 1 \\ -4 \cdot 2 + 0 \cdot 1 & -4 \cdot -1 + 0 \cdot 0 & -4 \cdot 3 + 0 \cdot 1 \end{bmatrix}
    • =[5−27−84−12]= \begin{bmatrix} 5 & -2 & 7 \\ -8 & 4 & -12 \end{bmatrix}
  • 행렬의 곱은 교환법칙이 성립하지 않는다.

  • 일반적으로 AB ≠ BA

  • 실수의 곱셈은 곱셈의 결과가 0이라면 곱셈에 참여하는 실수 중 반드시 하나는 0이어야 하지만, 행렬곱에서는 행렬곱에 참여하는 행렬이 모두 영행렬이 아니더라도 그 결과가 영행렬이 되는 경우도 있다.

행렬곱의 연산법칙

  • 곱의 결합법칙: (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC)
  • 곱의 분배법칙: A(B+C)=AB+ACA(B + C) = AB + AC
  • 곱의 분배법칙: (A+B)C=AC+BC(A + B)C = AC + BC

가우스 소거법

  • 행렬은 일차연립방정식의 풀이에 사용됨.
  • −2x−5y+2z=−3-2x - 5y + 2z = -3
  • x+3y=4x + 3y = 4
  • y+3z=6y + 3z = 6

⇒[−2−52130013][xyz]=[−346]\Rightarrow \begin{bmatrix} -2 & -5 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ 6 \end{bmatrix}

⇒AX=B\Rightarrow AX = B

  • A: 계수행렬

    • 위에서 왼쪽의 3x3 행렬은 계수행렬이라고 함

  • X: 미지수 행렬

    • (x,y,z)를 해(solution)

  • B: 상수행렬

    • (-3,4,6)을 상수행렬이라고 함

  • (A∣B)(A|B): 확대행렬

    • 이 행렬을 확대행렬(augmented matrix)이라고 함
    • 계수행렬과 상수행렬을 다음과 같이 묶어서 하나의 행렬로 만들 수 있다.
      ⇒[−2−52−313040136]\Rightarrow \begin{bmatrix} -2 & -5 & 2 & -3 \\ 1 & 3 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \end{bmatrix}

기본행연산

  • 행 교환 연산
    • 두 행을 서로 교환하는 연산
  • 행 스케일링 연산
    • 하나의 행에 0이 아닌 스칼라를 곱하는 연산
  • 행 대체 연산
    • 한 행에 스칼라 곱을 해서 다른 행에 더하는 연산

일차연립방정식과 행렬의 관계

  • L1,L2L_1,L_2: 일차연립방정식
    • A: L1L_1의 확대행렬
    • B: L2L_2의 확대행렬
  • A∼B⇒L1∼L2A \sim B \Rightarrow L_1 \sim L_2
    • 물결: 행렬 A에 기본행연산(3개 중에 하나)을 적용하여 B를 얻을 수 있음

행제형 행렬

  • 아래 3가지 조건을 만족하는 행렬을 행사다리꼴(행제형)이라고 한다.

    • 영행이 아닌 행은 영행의 위에 있다.
    • 영행이 아닌 행의 첫 번째 0이 아닌 원소를 그 행의 선도원소라 하는데, 모든 선도원소는 1이다.
    • 주어진 행의 선도원소는 그 아래의 행의 선도원소보다 왼쪽에 있다.

  • [123001000]\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

    소거 행제형 행렬

    • 위 조건에 더불어 + 선도원소가 포함된 열에서 선도원소를 제외한 모든 원소는 0이다.

  • [100001000]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

행렬의 종류

정방행렬

  • 행의 수, 열의 수가 같은 n×nn \times n 행렬을 n차 정방행렬 이라고 함.
    • n: 정방행렬의 차수(order)
  • 정방행렬의 a11,a22,⋯ ,anna_11, a_22, \cdots, a_nn 원소를 대각원소(diagonal element)라고 함.
    • 대각원소를 포함하는 대각선을 주대각선(main diagonal)이라고 함.

대각행렬(Diagonal Matrix)

  • n차 정방행렬에서 대각원소 이외의 모든 원소가 0인 행렬
  • D=[d1000d2000d3]D = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & 0 \\ 0 & d_2 & 0 \\ 0 & 0 & d_3 \end{bmatrix}

단위행렬(Unit Matrix)

  • n차 정방행렬에서 대각원소가 모두 1이고 나머지 원소는 모두 0인 행렬을 n차 단위행렬이라 함. 기호로는 InI_n로 나타냄.
  • In=[100010001]I_n = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
  • 단위행렬이면 대각행렬이기도 함.

대칭행렬(Symmetric Matrix)

  • n차 정방행렬에서 aij=ajia_ij = a_ji인 행렬을 대칭행렬이라 한다.
    • A=[123245356]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{bmatrix}

비대칭행렬(skew symmetric matrix)

  • n차 정방행렬에서 aij=−ajia_ij = -a_ji이고 대각원소가 모두 0인 행렬
  • A=[0−2−320−5350]A = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -3 \\ 2 & 0 & -5 \\ 3 & 5 & 0 \end{bmatrix}

삼각행렬(Triangular Matrix)

  • 상삼각행렬: n차 정방행렬에서 주대각선 아래에 있는 모든 원소들이 0일 경우

  • A=[123045006]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix}

  • 하삼각행렬: n차 정방행렬에서 주대각선 위에 있는 모든 원소들이 0일 경우

  • A=[100230456]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 0 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

  • 상삼각행렬이나 하삼각행렬을 삼각행렬이라고 부른다.

전치행렬(transpose matrix)

  • m×nm \times n크기의 행렬 A가 주어졌을 때, A의 행과 열을 서로 교환한 행렬을 A의 전치행렬이라고 한다.
  • 기호로는 ATA^T로 나타낸다.
  • 행과 열이 교환되어 있기 때문에 ATA^T는 n×mn \times m크기의 행렬이 된다.
  • A=[123456]A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}
  • AT=[142536]A^T = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}

역행렬(Inverse Matrix)

  • n차 정방행렬 A, B가 주어졌을 때 AB=BA=InAB = BA = I_n인 행렬 B가 존재하는 경우 행렬 A를 역가능하다고 하고, B를 A의 역행렬이라고 한다.

  • 기호로는 A−1A^{-1}로 나타낸다.

  • 행렬 A와 역행렬 A의 곱은 항상 단위행렬이 된다.

  • 예) 다음 행렬 A의 역행렬 구하기 A=[2335]A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix}

  • A−1=[abcd]A^{-1} = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} 라고 하자. 그러면 AA−1=[2335][abcd]=[1001]AA^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}이 된다.

  • 2a+3c=12a + 3c = 1

  • 2b+3d=02b + 3d = 0

  • 3a+5c=03a + 5c = 0

  • 3b+5d=13b + 5d = 1

  • 위의 4개의 연립방정식을 풀면 A−1=[5−3−32]A^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 2 \end{bmatrix}가 된다.

부울행렬

  • 행렬의 모든 원소가 0 또는 1인 행렬

부울행렬의 합

  • 행렬 A=[aji],B=[bij]A = [a_{ji}], B = [b_{ij}]가 부울행렬일 때
    • A와 B의 크기가 서로 같을 경우 A와 B의 합은 (i, j)원소가 aij∨bija_{ij} \lor b_{ij}인 부울행렬이며, A∨BA \lor B로 나타낸다.

부울행렬의 교차

  • 행렬 A=[aji],B=[bij]A = [a_{ji}], B = [b_{ij}]가 부울행렬일 때
    • A와 B의 크기가 서로 같을 경우 A와 B의 교차는 (i, j)원소가 aij∧bija_{ij} \land b_{ij}인 부울행렬이며, A∧BA \land B로 나타낸다.

부울행렬의 곱

  • m×nm \times n크기의 행렬 A=[aij]A = [a_{ij}]와 n×ln \times l크기의 행렬 B=[bij]B = [b_{ij}]의 부울곱은 (i,j) 원소 cijc_{ij}가 다음과 같이 정의되는 m×lm \times l크기의 부울행렬
    • cij=(ai1∧b1j)∨(ai2∧b2j)∨⋯∨(ain∧bnj)c_{ij} = (a_i1 \land b_1j) \lor (a_i2 \land b_2j) \lor \cdots \lor (a_in \land b_nj)
  • A⊙BA \odot B로 나타낸다.
  • A의 열의 크기, B의 행의 크기가 같을 때에만 부울곱을 계산할 수 있다.